Ю.А. Мищенко начал трудовую деятельность в 1957 г. артистом Кемеровского областного театра кукол им. Аркадия Гайдара. Отдал работе в театре 40 лет жизни. За годы работы им сыграно более 200 ролей, каждая из которых отличается своеобразным прочтением и кропотливым поиском.

С 1969 по 1980 гг. являлся директором театра. Коллеги вспоминают Юрия Александровича как умелого творческого наставника и отличного хозяйственника. В годы его руководства Кемеровский областной театр кукол считался одним из лучших театров Сибири. Мищенко отличало умение выстраивать стратегию развития учреждения на перспективу, строго осуществлять намеченные мероприятия. В 70-80-е годы ему удалось значительно обновить материально-техническую базу театра. Благодаря его усилиям театр периодически получал новый автотранспорт, осветительную и звукорегулирующую аппаратуру.

Театр представлял до 700 спектаклей. 70% из них составляли спектакли, показанные на выездах и гастролях. Вышел на пенсию в 2000 г. За годы работы Мищенко Ю.А. областной театр кукол рассматривался Министерством культуры РФ как один из стабильных творческих коллективов.